1) y" + 3y' - 4y =e^ -4x + xe^ -x

2) y" - 3y' + 2y = xcosx

3) y" - 4y' + 8y = e^ 2x + sin 2x

4) y" - 3y' + 2y = 3x + 5sin2x

Giải:

1)   y" + 3y' - 4y =e^-4x + xe^-x

phương trình thuần nhất tương ứng là:

y" + 3y' - 4y =0

ð phương trình đặc trưng:

ð k²+3k-4=0    (I)

ð phương trình có 2 nghiệm phân biệt là k₁=1 và k₂=-4. Do đó nghiệm tổng quát của phương trình là:

ð y=C₁e^x+C₂e^-4x trong đó C là hằng số.  (@)

ð bây giờ ta tìm nghiệm riêng nữa là xong:

(nghiệm tổng quát cần tìm=nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất+nghiệm riêng)

Vế phải là e^-4x + xe^-x ta không đưa được về dạng tổng quát nên mình xét 2 phương trình con:

(*) y" + 3y' - 4y =e^-4x.

Vế phải có dạng e^axP_n(x), a=-4 là nghiệm của (I)

Nên có nghiệm riêng dạng: y=xe^-4xa₀

=>y'=a_oe^-4x-4a_oxe^-4x=(1-4x) a_oe^-4x

=>y''=-4 a_oe^-4x-4(1-4x) a_oe^-4x=-4(2-4x) a_oe^-4x

Thay lên ta được:

-4(2-4x) a_oe^-4x+3(1-4x) a_oe^-4x-4xe^-4xa₀= e^-4x.

<=>-5a_oe^-4x= e^-4x

=>a_o=-

=>y=-xe^-4x   (1)

(**)y" + 3y' - 4y =xe^-x

Vế phải có dạng e^axP_n(x):a=-1 không phải là nghiệm của phương trình (I) nên nó có nghiệm riêng dạng:

y=e^-x(a₁x+a_o)

=>y'=a₁e^-x- e^-x(a₁x+a_o)=e^-x(-a₁x-a_o+a₁)

=>y''=- e^-x(-a₁x-a_o+a₁)-a₁e^-x= e^-x(a₁x+a_o-2a₁)

Thay lên ta được:

e^-x(a₁x+a_o-2a₁)+3e^-x(-a₁x-a_o+a₁)-4e^-x(a₁x+a_o)=xe^-x

<=>(-6a₁) xe^-x+(a₁-6a_o) e^-x =xe^-x

Để cho nó đồng nhất:(có nghĩa là giống nhau) thì:

Từ (1),(2) suy ra có có nghiệm riêng:

 (@@)

Từ (@),(@@) suy ra nghiệm tổng quát là:

y=C₁e^x+C₂e^-4x