PHƯƠNG TRÌNH

1. Phương trình một ẩn:

    - Một phương trình với ẩn x luôn có dạng A(x) = B(x), trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x.

    Ví dụ 1.1.  2x – 3 = 5(x + 7)  là phương trình với ẩn x.

                       5(y + 6) = y² +26 là phương trình với ẩn y.

    - Nếu x₀ là một giá trị sao cho A(x₀) = B(x₀) là một đẳng thức đúng thì x = x₀ đgl một nghiệm của phương trình A(x) = B(x).

    - Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ba nghiệm,… có vô số nghiệm, nhưng cũng có thể không nghiệm nào (phương trình vô nghiệm)

    - Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình đgl tập nghiệm của phương trình đó và thường được ký hiệu là S.

    - Đề giải một phương trình là đi tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.

    Ví dụ 1.2.

    *  Phương trình x + 2 = 3 có tập nghiệm S = {1}

    *  Phương trình (x - 3)(x² -  4) = 0 có tập nghiệm S = {-2; 2; 3}

    *  Phương trình  0x = 1; x² + 1 = 0;… à các phương trình vô nghiệm và có tập nghiệm là S =

    *  Phương trình 0x = 0; x² – 1 = (x – 1)(x + 1) có vô số nghiệm nên S = R

    - Số tập nghiệm của một phương trình còn phụ thuộc vào việc xét các giá trị của ẩn trên tập hợp số nào.

    Ví dụ 1.3.

    Xét phương trình (3x – 4)(x² – 3) = 0  sẽ vô nghiệm trên tập N, Z

    Xét phương trình (3x – 4)(x² – 3) = 0 có một nghiệm (x = 4/3) trên tập Q

    Xét phương trình (3x – 4)(x² – 3) = 0 có ba nghiệm (x = 4/3, x = ) trên tập R.

2. Hai phương trình tương đương:

    2.1. Định nghĩa: Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập hợp nghiệm.

    *  Sự tương đương ký hiệu bởi dấu . Phương trình (1) tương đương với phương trình (2), ta viết (1)  (2)

    *  Hai phương trình vô nghiệm được coi là tương đương   

    Ví dụ 2.1. Xét 2 phương trình x² + 1 = 0 và phương trình 0x = -3 là hai phương trình tương đương nhau vì có cùng tập nghiệm chúng bằng .

    2.2. Hai quy tắc biến đổi tương đương các phương trình:                                                      

    2.2.1. Quy tắc chuyển vế: (SGK)

A(x) = B(x) + C(x)  A(x) – C(x) = B(x)

    2.2.2. Quy tắc nhân (chia) với một số:

A(x) = B(x)  m.A(x) = m.B(x)    (m  R*)

3. Phương trình bậc nhất một ẩn:

    3.1. Định nghĩa: Phương trình dạng ax + b = 0 với a, b là những hằng số; a  0 đgl phương trình bậc nhất một ẩn.

    Ví dụ 3.1.  2x – 1 = 0 ; –4y + 6 = 0 ; 2 – 5t = 0 ; 3z = 0 ; … là các phương trình bậc nhất một ẩn.

    Ví dụ 3.2.  x(x – 1) = 0 ; 0x + 2 = 0 ; … không phải các phương trình bậc nhất một ẩn.

    3.2. Cách giải:   ax + b = 0  ax = - b  x = -b/a

                                Nghiệm duy nhất của phương trình ax + b = 0 (a 0) là x = -b/a

4. Cách giải phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 (a0) (khôngcó ẩn ở mẫu):

    - Quy đồng mẫu thức 2 vế

    - Khử mẫu thức.

    - Thực hiện các phép tính và chuyển vế (chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế bên kia), đưa phương trình về dạng Ax = B

    Ví dụ 4.1. Giải phương trình: 

    Vậy:  S =