Bài 1 :  Giải các phương trình sau:

a/  3x² + 2( - 1)x - 4 - 8 = 0

b/  x² – 2(m + 1)x + m² + 2m – 8 = 0

c/  x² – 2(a + 1)x + 6a – 3 = 0

d/  m²x² + x  - 2 = 0

e/  (m – 1)x² – 2(m + 1)x + m – 3 = 0

Bài 2 : Cho pt : x² – (2m + 3)x + m² + 3m + 2 = 0

a/ Định m để phương trình có một nghiệm bằng 2. Tính nghiệm còn lại.

b/ Chứng minh rằng pt luôn có 2 nghiệm phân biệt

c/ Định m để pt có hai nghiệm thoả –3< x₁< x₂ < 6

d/ Định m để pt có nghiệm này bằng bình phương của nghiệm kia.

Bài 3 :  Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a/  (2x² + 3x  - 1)² – 5(2x² + 3x+ 3) + 24

b/  2x³ – (a + 2)x² – ax + a²

c/ 2x² – 3xy – 2y² – 8x + y + 6

d/ x⁴ – 10x² – 2(a – 11)x² + 5(5a + 6)x + 2a + a²

e/  -2x³ + 3xy + x + 2y² + 13y + 15

Bài 4 :  Đơn giản các biểu thức sau :

         A =

         B =

Bài 5 :  Giải và biện luận phương trình :

Bài 6 :  Giải và biện luận pt (x là ẩn số)

(2m² – 3m – 2)x² + (m² + 7m + 2)x – m² – 2m = 0

Bài 7 :  Xét các pt :  ax² + bx + c = 0 (1).

                                 cx² + bx + a = 0 (2)

Tìm hệ thức giữa a,b,c là điều kiện cần và đủ để hai phương trình trên có nghiệm chung duy nhất.

Bài 8 :  Cho pt (ẩn x) : ax² + bx + c = 0

               Biết rằng a ≠ 0  và 5a + 4b + 6c = 0

Chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Bài 9 :  Chứng minh phương trình : ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm nếu một trong ba điều kiện sau được thỏa mãn :

      1/ a(a + 2b + 4c) < 0

      2/ 5a + 3b + 2c = 0

      3/ 14a + 6b + 3c = 0

Bài 10 :   Cho các số a, b, c thỏa mãn điều kiện a>0, b> a + c. CMR: pt : ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt.

Bài 11 :Cho a, b, c là các số bất kì, đều khác 0 và thoả mãn điều kiện: ac + bc + 3ab  0.CMR: pt

sau luôn có nghiệm:

(ax² + bx + c)(bx² + cx + a)(cx² + ax + b) = 0.

Bài 12 : Biết rằng : a + b + c < 0 và phương trình bậc hai  ax² + bx + c = 0 vô nghiệm.

Chứng minh rằng : c < 0.

Bài 13 : CMR phương trình bậc hai :

(a + b)²x² – (a – b)(a² – b²)x – 2ab(a² + b²) = 0 (x là ẩn số) luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Bài 14 : CMR với mọi a,b,c thỏa điều kiện a + b + c ≠ 0 pt : a(x – b)(x – c) + b(x – c)(x – a) + c(x – a)(x – b) = 0 có nghiệm.

Bài 15 : a/  Giả sử p = abc là số nguyên tố. CMR pt : ax² + bx + c = 0 không có nghiệm hữu tỉ.

b/ Nếu x² + ax +b = 0 có các nghiệm hữu tỉ (a,b thì các nghiệm đó là những số nguyên.

Bài 16 : Với giá trị nguyên nào của k, các nghiệm của pt :      kx² + (2k – 1)x + k - 2 = 0 là các số hữu tỉ.

Bài 17 : CMR bất kỳ 2 số thực a và b không đồng thời bằng không thì pt :    có các nghiệm thực.

Bài 18 : Cho pt bậc hai : (x là ẩn số)

x² – 2(a + b + c)x + 3ab + 3ac + 2bc + (1) CMR pt (1) luôn luôn có nghiệm.

Khi (1) có nghiệm kép, hãy xác định a, b, c biết :

a + b² + c³ = -2.

Bài 19 : Với giá trị nào của m thì pt (ẩn x) sau :

(m⁵ – 2m⁴ + m + 4)x² + (3m³ + m + 4)x + (m² + m) = 0 có nhiều hơn hai nghiệm.

Bài 20 : Tìm GTLN(GTNN) của :

      A =

      B =   (m6)

      C =

Bài 21 : D =  có GTLN bằng 4 và GTNN bằng -1. Xác định a, b?

Bài 22 : CMR: Z, ta có : n² + 5n + 16 không chia hết cho 169

Bài 23 : CMR: Z, ta có : 4n² + 7n + 1 không chia hết cho 13.

Bài 24 : CMR nếu a + b  2 thì ít nhất một trong hai pt sau có nghiệm:

x² + 2ax + b = 0 (1)   ; x² + 2bx + a = 0 (2)

Bài 25 : CMR nếu a + b  2 thì ít nhất một trong hai pt sau có nghiệm:

x² + 2a²bx + b⁵ = 0 (1)   ; x² + 2ab²x + a⁵ = 0 (2)

Bài 26 : Giả sử : a + b + c = 6. CMR: một trong 3 phương trình sau có nghiệm :        

x² + ax + 1 = 0 (1) ;    x² + bx + 1 = 0 (2)

và  x² + cx + 1 = 0 (3)

Bài 27 : CMR : nếu pt : ax² + bxy + cy² = 0 chỉ có duy nhất một nghiệm thì  b² – 4ac < 0.

Bài 28 : Cho (P) : y = ax²(a≠0)và đường thẳng (d): y = bx + 4. Xác định a, b để (P) và (d) chỉ có một điểm chung duy nhất có hòanh độ là 2.

Bài 29 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :  x² + 2y² + 3xy + 3x + 3x + 5y = 14

Bài 30 :  Cho a,b,c là các số không âm thỏa mãn điều kiện : a +2b + 3c = 1. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm :

      4x² – 4(2a + 1)x + 4a² + 192abc + 1 = 0 (1)

      4x² – 4(2b + 1)x + 4b² + 96abc + 1 = 0   (2)

Bài 31 :  Cho 2 pt:   ax² + bx + c = 0   (1) , a 0

                                 mx² + nx + p = 0  (2) , m 0

CMR ít nhất một trong 2 pt trên vô nghiệm thì pt sau luôn luôn có nghiệm :

   (an – bm)x² + 2(ap – mc)x + bp – nc = 0  (3)

Bài 32 : Cho phương trình x² – 2ax – (a+3) = 0. Hãy tìm tất cả các số nguyên a sao cho phương trình trên có nghiệm nguyên.

Bài 33 : Chứng minh rằng nếu pt (ẩn x) :

      ax² + bx + c = 0 (1) có nghiệm thì pt:

(với c ≠ 0) cũng có nghiệm.

Bài 34 : CMR nếu pt (ẩn x) sau :x² + px + q = 0 (1) có hai nghiệm phân biệt thì hai pt (ẩn x) sau :

      x² + (p + 2m)x + q + mp = 0 (2)

      3x² + 2(p + m)x + q + mp = 0 (3)

cũng có hai nghiệm phân biệt.

Bài 35 : Cho a,b,c là ba số dương khác nhau, có tổng bằng 12. Chứng minh rằng trong 3 phương trình ẩn x :  x² + ax + b = 0 (1)

x² + bx + c = 0 (2) ;  x² + cx + a = 0 (3)

Có một phương trình có nghiệm, một phương trình vô nghiệm.

Bài 36 : Chứng minh rằng với 3 số thực a,b,c phân biệt thì pt: có 2 nghiệm phân biệt.

Bài 37 : CMR  nếu  thì pt :2ax² + bx + 1 –a = 0 có nghiệm.

Bài 38 : Gọi x₁, x₂  là nghiệm của phương trình : x² –3x – 7 = 0

1/ Tính :      A =       C =

B =              D = (3x₁ + x₂)(3x₂ + x₁)

2/ Lập pt bậc 2 có nghiệm là :và

Bài 39 : Lập pt bậc hai có các hệ số hữu tỉ và có một nghiệm là :

Bài 40 : Không giải pt, hãy tính hiệu các lập phương của các nghiệm lớn và nhỏ của pt bậc hai   

Bài 41 : Gọi x₁, x₂ là 2 nghiệm của pt :

x² – 7x + 3 = 0.Hãy lập pt bậc hai có 2 nghiệm 2x₁ - x₂ và 2x₂ – x₁ . Hãy tính giá trị của biểu thức

             A =

Bài 42 : Cho ptbậc hai : (m² – 1)x² + (m + 1)x + m + 3 = 0.Tìm m để pt có nghiệm x = -2. Tính nghiệm còn lại.

Bài 43 : Cho pt: (x ẩn số). Tìm m để pt có một nghiệm lớn hơn hai lần nghiệm kia một đơn vị ?

Bài 44 : Lập pt bậc hai có 2 nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn : 4 x₁x₂ – 5(x₁ + x₂) + 4 = 0

      và (x₁ – 1)(x₂ –1) =

Bài 45 :  Gọi a,b là các nghiệm của pt : x² + 5x – 8 = 0. Lập pt bậc hai có các nghiệm là  và

Bài 46 : Giả sử x₁, x₂ là nghiệm của pt ẩn x : x² + ax + 1 = 0; và x₃, x₄ là nghiệm của phương trình ẩn x : x² + bx + 1 = 0

Tính giá trị của biểu thức M = (x₁ – x₃)(x₂ – x₃)(x₁ + x₄)(x₂ + x₄) theo a và b.

Bài 47 :    a/ Giả sử x₁, x₂ là nghiệm của pt ẩn x sau : .Tính :  theo x

b/ Tìm một đa thức bậc 7 có hệ số nguyên nhận  là nghiệm

Bài 48 : Hãy viết pt bậc hai dạng : x² + px + q = 0. Biết rằng pt có nghiệm nguyên, có hệ số p,q đều là nguyên và p + q + 1 = 1993.        

Bài 49 : Tìm nghiệm của pt x² +px + q = 0, biết rằng chúng là số nguyên và p + q = 198.

Bài 50 : : Biết rằng x₁, x₂  là hai nghiệm của phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0. Viết phương trình bậc hai nhận  là nghiệm.

Bài 51 :- Gọi x₁, x₂ là 2 nghiệm của phương trình 5x² – 3x – 1 = 0. Tính giá trị của các biểu thức :  A =

B =

C =

Bài 52 : Cho hai pt: x² – (2m +n)x – 3m = 0 (1)

                         và   x² – (m + 3n)x – 6 = 0   (2)

Tìm m và n đề (1) và (2) tương đương.

Bài 53 : Giải pt : (a + b)x² – 2x – ab = 0

Biết rằng a,b là nghiệm của phương trình :

             y² – (m + 1)y + m + 3 = 0

Bài 54 : Gọi a,b là 2 nghiệm của pt: x² + px + 1 = 0 và b,c là 2 nghiệm của pt : x² + qx + 1 = 0

Chứng minh hệ thức : (a –b)(b – c) = pq – 6

Bài 55 : Giả sử pt x² + ax + b = 0 có nghiệm x₁,x₂ và pt: x² + cx + d = 0 có nghiệm x₃,x₄. CMR :

2(x₁ + x₃)( x₁ + x₄)( x₂ + x₃)( x₂ + x₄) = 2(b – d)² – (a² – c²)(b – d) + (a + c)²(b + d)

Bài 56 : Tìm các hệ số a,b và các nghiệm của pt : x² + ax + b = 0, biết rằng khi thêm 1 vào các nghiệm của nó thì chúng trở thành nghiệm của pt

                        x² –a²x + ab = 0

Bài 57 : Chứng minh rằng nếu a,b,c là những số dương thì pt:

 có 2 nghiệm x₁,x₂ sao cho (x₁ > x₂) :

Bài 58 : Gọi x₁,x₂ là nghiệm của pt ẩn x : x² – mx + 1 = 0 (m là số nguyên dương)

1/ CMR :  là số nguyên

2/ Tìm số nguyên dương m nhỏ nhất để  chia hết cho 25

Bài 59 : Giả sử ptx² + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm nguyên dương. CMR :     a² + b² là một hợp số

Bài 60 : Cho các pt :    x² + ax + 1 = 0 (1)

          x² + bx + 1 = 0 (2) ; x² + cx + 1 = 0 (3)

Biết rằng tích một nghiệm của pt(1) với một nghiệm nào đó của pt (2) là nghiệm của pt (3).CMR: a² + b² + c² + abc = 4

Bài 61 : Cho pt bậc hai (m – 1)²x² – (m – 1)(m + 2)x + m = 0. Khi pt có nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa x₁,x₂ không phụ thuộc vào tham số m.

Bài 62 : Cho pt: x² – 2(m – 1)x + m² – 3m (1)

1/Tìm m để pt (1) có một nghiệm là x = -2. Tính nghiệm còn lại.

2/Tìm m để pt (1) có 2 nghiệm thỏa

Bài 63 : Định m để pt: 5x² + mx – 28 = 0 có 2 nghiệm x₁,x₂ thỏa mãn hệ thức : 5x₁ + 2x₂ = 1

Bài 64 : Định m để pt: mx² – 2(m – 1)x + 3(m – 2) = 0 có 2 nghiệm phân biệt  x₁,x₂ thỏa mãn :

                   x₁ + 2x₂ = 1.

Bài 65 : Định m để hiệu hai nghiệm của pt:

             mx² – (m +3)x + 2m + 1 = 0 bằng 2.

Bài 66 : Tìm a để tổng các bình phương các nghiệm của pt :

      x² – (2a – 1)x –4a – 3 = 0 là nhỏ nhất.

Bài 67 : Tìm m để pt : 3x² + 4(m –1)x + m² – 4m + 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x₁,x₂ thỏa mãn :                                                      

Bài 68 :  1/ Cho pt x² – 5x – 1 =0. Gọi x₁,x₂ là các nghiệm số của pt trên. Tính :

A =

 và B =

2/ Cho pt: mx² + (m² – 1)x + 5 =0 (1). Định m để pt (1) có 2 nghiệm x₁,x₂ thỏa mãn :

Bài 69 : Cho pt x² + (2m – 6)x + m – 13 = 0. Tìm các giá trị của m để pt có hai nghiệm phân biệt x₁,x₂ và biểu thức : A = x₁,x₂ - đạt gía trị lớn nhất.

Bài 70 : Cho pt: x² – 2(m + 4)x + m² – 8 = 0 (m là tham số). Tìm m để pt có hai nghiệm x₁,x₂ thỏa  đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 71 : Cho các pt:  x² + (m + 1)x + 1 = 0 (1) và  x² + x + m + 1 = 0 (2)  (m là tham số)

Tìm m để hai pt (1) và (2) tương đương.

Bài 72 :  Cho pt: (m – 1)x² + 2mx + m + 1 = 0

1/Định m để pt trên có 2 nghiệm trái dấu.

2/Định m để pt có 2 nghiệm x₁,x₂ thỏa:

Bài 73 :  Cho pt: x² – 5mx – 4m = 0, có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

1) CMR: x₁² + 5mx₂ – 4m > 0.

2) Xác định giá trị m để biểu thức

    +  đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 74 : Tìm m để pt: x² – (3m – 1)x + 2m² – m = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ sao cho

  10.

Bài 75 : 1) Cho pt: (m + 1)x² – (m – 1)x + m + 3 = 0 (x ẩn số). Tìm tất cả giá trị của m  để pt có nghiệm đều là những số nguyên.

2) Cho 3 số ,,. Đặt  a = ++, b = ++ và c =. CMR: các pt sau đều có nghiệm:

        x² + 2ax + 3b = 0;   ax² – 2bx + 3c = 0.

Bài 76 : Giả sử x₁, x₂ là hai nghiệm của pt:  = 3x + m, trong đó m là tham số. Tìm để biểu thức  đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 77 : Tìm m để pt: (x² – 1)(x + 3)(x + 5) = m có 4 nghiệm x₁, x₂; x₃; x₄ thoả mãn:

+++= -1.

Bài 78 : Cho pt : x² – (2m + 1)x + m² + m – 2 = 0.

Xác định m để pt có 2 nghiệm phân biệt x₁,x₂ sao cho A = x₁(x₂ + 5) đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 79 : Tính giá trị: S =  trong đó a là nghiệm dương pt : 4x² + .

Bài 80 : Cho x₁,x₂ là 2 nghiệm của pt . Tính giá trị nhỏ nhất của  và nêu rõ khi đó m lấy giá trị nào ?

Bài 81 : Cho pt :  (m² + m + 1)x² – (m² + 2m + 2)x –1 = 0 (*). Gọi x₁,x₂ là nghiệm của phương trình trên, tìm GTLN và GTNN của :  S = x₁ + x₂

Bài 82 :Cho pt : (m² + m + 1)x² – (m² + 8m + 3)x – 1 = 0. Gọi x₁,x₂ là 2 nghiệm của pt trên. Tìm GTLN và GTNN của tổng :  S = x₁ + x₂.

Bài 83 : Cho pt : 2x² + 2(m + 1)x + m² + 4m + 3 = 0. Gọi x₁,x₂ là các nghiệm của pt.Tìm GTLN của biểu thức : A =

Bài 84 : Cho pt: 2x² + 2(m + 2)x + m² + 4m + 3 = 0. CMR: khi pt có nghiệm  thì ta có :                                

Bài 85 : Gọi x₁,x₂ là nghiệm của pt : x² + bx + 1 = 0 và thỏa mãn điều kiện : . Tính x₁,x₂ ?

Bài 86: Cho hai pt : ax² + bx + c = 0 (1)

                            và cx² + bx + 1 = 0 (2)

Tìm liên hệ giữa các hệ số a,b,c biết rằng các nghiệm x₁,x₂ của pt (1), các nghiệm x₃,x₄ của pt (2) thỏa:

Bài 87 : Tìm m để pt: x² + mx + 1 = 0 có hai nghiệm x₁,x₂ thỏa mãn :

Bài 88 : Cho pt : mx² + x + m – 1 = 0

Định m để pt có 2 nghiệm phân biệt  x₁,x₂ thỏa mãn

Bài 89 :  Giả sử x₁,x₂ là nghiệm của pt : x² + 2kx + 4 = 0. Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có bất đẳng thức :

Bài 90 : Giả sử x₁,x₂ là nghiệm của pt : x² + kx + a = 0 . Tìm tất cả các giá trị của k để có bất đẳng thức :

Bài 91 : Tìm m để pt sau có nghiệm chung :2x² – (3m + 2)x + 12 = 0 và 4x² – (3m – 2)x + 36 = 0

Bài 92 : Với giá trị nào của m thì 2 pt sau có nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó : 2x² + (3m + 1)x – 9 = 0 và  6x² + (7m – 1)x – 19 = 0

Bài 93 :Với giá trị nào của m thì 2 pt sau có nghiệm chung :2x² + mx – 1 = 0 và mx² – x + 2 = 0

Bài 94 : Định m để 2 pt sau có nghiệm chung : x² + mx – 2m + 1 = 0 và mx² – (2m + 1)x – 1 = 0

Bài 95 :Cho 2 pt : x² – 2mx + 4m = 0 (1) và                                                 x² – mx + 10m = 0  (2).Tìm các giá trị của tham số m để pt (2) có một nghiệm bằng hai lần một nghiệm của pt (1).

Bài 96: Cho 2 pt : x² – x + m = 0 (1) và  x² – 3x + m = 0 (2).Với giá trị nào của m thì pt (2) có một nghiệm khác 0 gấp 2 lần một nghiệm của pt (1).

Bài 97 : CMR nếu 2 pt : x² + ax + b = 0 và x² + cx + d = 0 có nghiệm chung thì :

                   (b – d)² + (a – c)(ad – bc) = 0.

Bài 98 : Giả sử 2 pt : a₁x² + b₁x + c₁ = 0 và a₂x² + b₂x + c₂ = 0 có ít nhất một nghiệm chung. CMR : 

      (a₂c₁ – a₁c₂)² = (a₂b₁ – a₁b₂) (b₂c₁ – b₁c₂)

Bài 99 : Giả sử a,b là 2 số phân biệt. Chứng minh rằng nếu 2 pt :       x² + ax + 2b = 0 (1)

                  và   x² + bx + 2a = 0 (2)

có đúng một nghiệm thì các nghiệm số còn lại của 2 pt là nghiệm của pt x² + 2x + ab = 0.

Bài 100 :Biết hai pt x² + ax + bc = 0 và x² + bx + ac = 0 chỉ có một nghiệm chung (c  0). CMR : 2 nghiệm còn lại là nghiệm của pt x² + cx + ab = 0

Bài 101: Cho các pt x² + bx + c = 0 và x² + b₁x + c₁ = 0 trong đó b,c,b₁ và c₁ là những số nguyên sao cho (b – b₁)² + (c – c₁)² > 0. CMR nếu cả có một nghiệm chung thì các nghiệm thứ hai là hai số nguyên phân biệt.

Bài 102: Cho pt: ax²+bx+c=0(a  0 ; k 1).CMR điều kiện cần và đủ để pt có 2 nghiệm x₁,x₂ thỏa điều kiện x₁ = kx₂ là (k + 1)²ac = kb².

Bài 103: Cho pt : x² – 97x + a = 0 có các nghiệm là lũy thừa bậc 4 của các nghiệm của pt: x² – x + b = 0. Hãy tính a ?

Bài 104: Tìm các số a,b thỏa mãn :

1/ Hai pt :   x² + ax + 1 = 0 và x² + bx + 2 = 0 có một nghiệm chung.

2/  nhỏ nhất.

Bài 105 : Cho pt :(m – 1)x² + 2(m – 1)x – m = 0

1/ Định m để pt có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này.

2/ Định m để pt có 2 nghiệm phân biệt đều âm.

Bài 106: Cho pt: x² – (2m – 3)x + m² – 3m = 0.

1/ CMR pt luôn có hai nghiệm khi m thay đổi.

2/ Định m để pt có 2 nghiệm x₁,x₂ thỏa

                        1<x₁<x₂< 6.

Bài 107: Cho pt : x² – (2m + 1)x + m² + m – 6 = 0.

1/ Định m để pt có 2 nghiệm đều âm.

2/Định m để pt có 2 nghiệm x₁,x₂ thỏa

Bài 108: Cho pt: x² – 2(m + 1)x + m² – 4m + 5 = 0

1/ Định m để pt có nghiệm.

2/ Định m để pt có 2 nghiệm phân biệt đều dương.

Bài 109: Tìm các giá trị của m để pt sau có nghiệm và tính các nghiệm ấy theo m :   

                   x +

Bài 110: Cho pt : x² – 2(m – 3)x – m + 2 = 0 (1)

a/ Định m để pt có nghiệm trái dấu

b/ Định m để pt có 2 nghiệm âm

Bài 111: Cho pt (m – 4)x² – 2(m – 2)x + m – 1 = 0

a/ Định m để pt có nghiệm phân biệt

b/ CMR: 4x₁x₂ – 2(x₁ + x₂) + 2 = 0

Bài 112: Gọi a, b là 2 nghiệm pt: x² + px + 1 = 0

                    c, d là 2 nghiệm pt: x² + qx + 1 = 0

CMR: (a – c)(a – d)(b – c)(b – d) = (p – q)²

Bài 113: Định m để pt : (x²+ mx + 2)( x² + 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt

Bài 114 :  Cho pt  x² – ax + b = 0 trong đó a, b là các số nguyên tố. Biết pt có 2 nghiệm nguyên dương phân biệt. CMR : a² + b² là một số nguyên tố

Bài 115 :  Giả sử pt x² + ax + b + 1 = 0 có các nghiệm x₁, x₂ là các số nguyên khác 0.

CMR : a² + b² là một hợp số

Bài 116 :  Cho hai pt :  x² + x + m = 0  (1) 

và x² + ax + b = 0  (2). Tìm các giá trị nguyên của a và b để các nghiệm của pt (1) tương ứng là lập phương các nghiệm của pt (2)

Bài 117 : Cho pt :x⁴ – 2(m + 1)x² + 2m + 1 = 0  (1)

Tìm m để pt có 4 nghiệm x₁, x₂ ,x₃, x₄ sao cho khi biểu diễn 4 nghiệm đó trên trục số thì 4 điểm đó chắn trên trục hòanh thành 3 đọan thẳng bằng nhau.

Bài 118 :  Tìm các giá trị của m để pt sau có nghiệm

             + x +  = m

Bài 119 :  Cho pt : 3x⁴ – mx³ – 16x² + mx + 3 = 0.

CMR: pt luôn có nghiệm. Giải pt  khi m = 7.

Bài 120 :  Cho pt  x⁴ + 2x² – 2mx + (m – 1)² = 0.

Tìm m để pt  có nghiệm là lớn nhất, nhỏ nhất ?

Bài 121 :  Cho các pt bậc hai : ax² + bx + c = 0 (1)  và ay² + by – c = 0 (2)

a/ Tìm điều kiện để 2 pt cùng có nghiệm

b/ Giả sử x₁, x₂  và y₁, y₂  thứ tự là các nghiệm của (1) và (2). CMR : (y₁ -  y₂ )² – (x₁ -  x₂ )² = 8 x₁ .x₂  

Bài 122 :  Cho pt : x² + 2(a + b)x + 4ab = 0. Với giá trị nào của a, b thì pt có ít nhất một nghiệm không âm.

Bài 123 : Cho pt  mx² + 2(m – 2)x + m – 3 = 0  (1)

a/ Định m để (1) có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn.

b/ Tìm GTNN của biểu thức A = x₁² +  x₂ ² .

Bài 124 : Cho phương trình : x² – 5mx – 4m = 0, có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

1) CMR: x₁² + 5mx₂ – 4m > 0.

2) Xác định giá trị m để biểu thức

    +  đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 125 :  Cho pt: x²–2mx–m=0, (1) trong đó m là tham số , m <1.

1) CMR: pt(1) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

2) Xác định giá trị của m để biểu thức A bằng

+  đạt giá trị lớn nhất.

Bài 126 :  1) Với giá trị nguyên nào của a, b thì phương trình : x² + ax + b = 0 có hai nghiệm x₁ , x₂ phân biệt thỏa mãn : 

-2 < x₁ < - 1   và 1 < x₂ < 2

2)  Tìm a để phương trình  = 1 + 2a có một số lẻ các nghiệm thuộc đoạn

Bài 127 :Tìm m để phương trình : x² – mx + m =0 có nghiệm thỏa mãn : .

Bài 128 :Tìm m để phương trình : 2mx² – x + m = 0 có nghiệm thỏa mãn :

Bài 129 :Tìm m để phương trình sau có nghiệm x₁,x₂ là độ dài hai cạnh AB, AC của tam giác ABC vuông tại A và có BC = 2.

      1/ x² – mx + m² – 3 = 0

      2/ x² – mx + m² – m – 3 = 0 (m > 0)

Bài 130 :Cho phương trình :x² + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0

      1/ Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 1, một nghiệm lớn 1.

      2/ Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2.

Bài 131 :Tìm giá trị của m đẩ phương trình sau : x² – (m – 1)x – m = 0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 1

Bài 132 :Tìm điều kiện của tham số m để phương trình ít nhất có một nghiệm có trị số tuyệt đối không vượt quá 1 :(m + 1)x² + 2(m + 5)x + m + 1 = 0

Bài 133 :Tìm m để phương trình : 3x² – 4x + 2(m – 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2.

Bài 134 :Với giá trị nào của m thì phương trình x² + x + m = 0 có hai nghiệm đều lớn hơn m ?

Bài 135 :Định m để phương trình :mx² – 2(m – 2)x + 1 = 0 (1)

Có hai nghiệm phân biệt và nghịch đảo của hai nghiệm đều nhỏ hơn 1.

Bài 136 :Cho phương trình mx² – 2(m – 3)x + m – 4 =0 (1)

Định m để phương trình :1/ Có đúng một nghiệm dương.

                                           2/ Có đúng một nghiệm không dương.

Bài 137 :Tìm m để phương trình x² – 2mx + (m + 1) + 1 = 0 có nghiệm duy nhất.

Bài 138 :Định m để phương trình :     

mx² – 2(m – 1)x + 2 =   có nghiệm duy nhất.

Bài 139 :Tìm m để phương trình : (x² – 1)(x + 3)(x + 5) = m có 4 nghiệm phân biệt x₁, x₂, x₃, x₄, thỏa mãn :

Bài 140 :Tìm m để phương trình : x² + mx + 2m – 4 = 0 có ít nhất một nghiệm không âm.

Bài 141 :Tìm giá trị của m để phương trình có ít nhất một nghiệm không âm :

                                                (m + 1)x² – 2x + (m –1) = 0 (1) ( m là tham số)

Bài 142 :Tìm m để phương trình : x² + 2m có nghiệm.

Bài 143 : Cho phương trình  Định m để phương trình có nghiệm.

Bài 144 :- Tìm m để phương trình sau có nghiệm :

Bài 145 :Cho phương trình : x³ – (2m + 1)x² + (3m + 1)x – (m + 1) = 0 (1) (x là ẩn số). Định m để phương trình (1) có 3 nghiệm dương phân biệt.

Bài 146 :Cho phương trình : x³ – 2mx² + (2m² – 1)x + m(1 – m²) = 0 (1). Định m để phương trình có 3 nghiệm dương phân biệt.

Bài 147 :Xác định m để phương trình có 3 nghiệm dương phân biệt: x³ – ( + 2m)x² + (2m² – 2m + 2)x – m² + m – 1 = 0

Bài 148 : Xác định k để bất đẳng thức : 25x² + 25y² + kxy – x – y +     được thỏa mãn với mọi cặp số (x,y). Là tọa độ của điểm M nằm trên mỗi đường thẳng y = x và y = - x.

(Đề thi HSG – Quận I – 14/11/1996)

Bài 149 : Giải các phương trình sau :

      1/ x³ - 2x² – 2x + 1 = 0                                          2/ x³ + 2x -5 = 0

      3/ x³ – x -  = 0                                                 4/ x³ + 2x² + 2x + 2 = 0

      5/              

      6/ x³ – 3x² + 9x – 9 =0                                           7/ x³ – x² – x =

Bài 150 : Giải các phương trình sau :

1/ x³ + 3x – 3 = 0                      2/ x³ + 6x + 2 = 0

3/ x³ + 12x – 2 = 0

Bài 151 : Giải phương trình :

1/ 2x⁴ + 3x³ – 16x² + 3x + 2 = 0                     

2/ x⁵ – 2x⁴ + x³ + x² – 2x + 1 =0

3/ (x + 3)⁴ + (x + 5)⁴ = 16                        

4/ (x + 4)(x + 6) (x - 2)(x - 12) = 25x²

5/ (x + 5)(2x + 12) (2x + 20)(x + 12) = 3x²

6/ (4x + 1)(12x - 1) (3x + 2)(x + 1) = 4

(Đề thi vào lớp 10 PTTH Lê Hồng Phong – TP HCM – 2002 – 2003)

7/ x⁴ + x² -  + 2 = 0                                 

8/ x⁴ – 4x = 1

9/ x⁴ – 8x + 7 = 0                                            

10/ x⁴ = 3x² + 10x + 4

Bài 152 : Giải phương trình :

      1/ x⁴ - 2- x + 2 -  = 0

2/ Cho a > - 6 : x⁴ – 10x³ – 2(a – 11)x² + 2(5a + 6)x + 2a + a² = 0

3/ x⁶ – 7x² +  = 0

Bài 153 : Giải các phương trình sau :

1/ (x² – 16)(x – 3)² + 9x² = 0                           2/ x⁴ – 4x³ – 10x² + 37x – 14 = 0

3/ (x² – 6x – 9)² = x³ - 4x² – 9x                                   4/ x⁴ – 2x² – 400x = 9999

5/ (x² – a)² – 6x² + 4x + 2a = 0

6/36(x² + 11x + 30)(x² + 11x + 31) =(x² + 11x + 12)(x² +9x + 20)(x² + 13x + 40)

Bài 154 : Giải phương trình sau :     

                   32x⁴ + (4x – 1)⁴ =

Bài 155 :   Định m để phương trình

                   x³ + .  có nghiệm.

Bài 156 :Chứng minh rằng phương trình :

             x³ – 3(a² + b²)x + 2(a³ + b³) = 0 luôn luôn có 3 nghiệm.

Bài 157 :Giải phương trình bậc ba : 

                   x³ – 3abx + (a³ + b³) = 0

Bài 158 :Giải phương trình : x³ + 3ax² + 3(a² – bc)x + a³ + b³ + c³ – 3abc = 0 (x : ẩn số)

(Đề thi chọn đội tuyển Toán 9 – Quận I – 1999)

Bài 159 :Cho phương trình :

x⁴ – 2mx² + m + 12 = 0 (1). Định m để (1) có 4 nghiệm phân biệt.

Bài 160 :Cho phương trình : x⁴ – 4x³ + 8x = m

1/ Giải phương trình khi m = 5

2/ Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt

Bài 161 :Tìm tất cả các giá trị của b sao cho phương trình :

            x⁴ + bx³ + x² + bx + 1 = 0 (1) có không ít hơn hai nghiệm âm khác nhau.

Bài 162 : Định a,b để phương trình :

      x⁴ + 2x³ - 3x² + ax + b = 0 có hai nghiệm kép phân biệt.

Bài 163 :Giải phương trình : x⁴ - 4x³ + 3x² + 8x - 10 = 0.Biết rằng phương trình có hai nghiệm đối nhau.

Bài 164 :Cho phương trình ẩn x :

      x⁴ + 8x³ + 6x² - 40x + m = 0. Xác định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

Bài 165 :Cho phương trình ẩn x sau :

                   (m² – m – 6)(x² + 1)² – 2(2m – 1)x(x² + 1) + 4x² = 0 (*)

Xác định m để phương trình có ít nhất 1 nghiệm.

Bài 166 :Cho phương trình : (x + a)⁴ + (x + b)⁴ = c. Tìm điều kiện của a,b,c để phương trình có nghiệm.

Bài 167 :Giải phương trình : :x⁴ + y⁴ + (x² + y² – 2)(2xy – 1) + 3 x²y² – 1 = 0 (1).

Bài 168 :Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm :  (m – 3)x⁴ – 2mx² + 6m = 0

Bài 169 :Tìm m để phương trình : mx⁴ – 10mx² + m + 8 = 0 (1)

1/ Có 4 nghiệm phân biệt

2/ Có 4 nghiệm x₁< x₂< x₃< x₄ thỏa điều kiện :x₄ – x₃ = x₃ – x₂ = x₂ – x₁

Bài 170 :Tìm các giá trị của a để nghiệm của phương trình sau đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất :   x⁴ + 2x² + 2ax + (a + 1)² = 0

(Đề thi chọn đội tuyển– Quận 9 – 2000 – 2001)

Bài 171 : Cho phương trình x⁴ + ax³ + x² + ax + 1 = 0 ( x : ẩn số). Biết rằng phương trình có nghiệm. Chứng minh rằng : a² > 2.

Bài 172 :Chứng minh rằng nếu phương trình :

      x⁴ + ax³ + bx² + ax + 1 = 0 có nghiệm thì :

      a² + (b – 2)² > 3.

Bài 173 : Chứng minh rằng nếu x⁴ + ax³ + bx² + cx + 1 = 0 có nghiệm thì :  5(a² + b²) ³ 4.

Bài 174 :Giả sử phương trình x⁴ + ax³ + bx² + cx + 1 = 0 (1) có nghiệm. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P = a² + b² + c²

Bài 175 :Định m để hệ sau đây có nghiệm :               

Bài 176 : Gọi x₁,x₂ là 2 nghiệm của phương trình: 2009x² – (20a – 11)x – 2009= 0.Tìm giá trị nhỏ nhất của : 

Bài 177 :  Xác định các số thực a, b,c sao cho phương trình ax² + bx + c = 0 co 1hai nghiệm thực thuộc đoạn . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất cuả biểu thức : P =