Chương III. PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT MỘT ẨN

§1. MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH.
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN VÀ CÁCH GIẢI

A/ KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CẦN NHỚ

I. MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH

1. Phương trình một ẩn

Một phương trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x), trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x.

Chú ý :

– Hệ thức x = m (m là một số nào đó) cũng là một phương trình, m là nghiệm duy nhất của phương trình.

– Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ..., nhưng cũng có thể không có nghiệm nào (phương trình vô nghiệm) hoặc có vô số nghiệm.

2. Giải phương trình

· Giải một phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.

· Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình được gọi là tập nghiệm của phương trình đó và thường được kí hiệu là S.

3. Phương trình tương đương

· Hai phương trình có cùng tập nghiệm là hai phương trình tương đương.

· Để chỉ hai phương trình tương đương với nhau ta dùng kí hiệu "Û".

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

1. Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn

Phương trình dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a ¹ 0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

2. Hai quy tắc biến đổi phương trình

a) Quy tắc chuyển vế : Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.

b) Quy tắc nhân với một số : Trong một phương trình, ta có thể nhân (hoặc chia) cả hai vế với cùng một số khác 0.

3. Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn

· Từ một phương trình, dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân, ta luôn nhận được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.

· Phương trình bậc nhất ax + b = 0 (với a ¹ 0) được giải như sau :

ax + b = 0 Û ax = –b Û x = –.

Vậy phương trình bậc nhất ax + b = 0 luôn có một nghiệm duy nhất x = –.

B/ BÀI TẬP

& BÀI TẬP CƠ BẢN

1. Với mỗi phương trình sau, hãy xét xem x = –5 có là nghiệm của phương trình không ?

a) x + 20 = –2x + 5                                                 c) x – 11 =  – 15

b) 3x = x + 10                                                         d) x² = x – 20.

2. Hãy cho biết tập nghiệm của các phương trình :

a) 5x – 4 = –4 + 5x                                                 b) 2x – 3 = 4 + 2x.

3. Hãy thử lại và cho biết các kết luận sau có đúng không ?

a) x + 9 = 2x – 5 Û x = 4                                      b) x –  =  Û x =

c) x² – 5 = x + 3 Û x = –3.

4. Hai phương trình sau có tương đương không ? Vì sao ? x² – 4 = 0 và x – 2 = 0.

5. Hãy chỉ ra các phương trình bậc nhất trong các phương trình sau :

a) –x + 6 = 0                                                           b) –x² + 4 = 0

c) x – 7 = 0                                                       d) x(x + 5) = 0

e)  = –7                                                               f)  = –7.

6. Giải các phương trình sau :

a) 7x – 35 = 0                                                         b) 4x – x – 18 = 0

c) x – 6 = 8 – x                                                       d) 48 – 5x = 39 – 2x.

7. Tìm giá trị của m sao cho phương trình sau nhận x = –5 làm nghiệm : 2x – 3m = x + 9.

8. Tìm giá trị của m, biết rằng phương trình : 5x + 2m = 23 nhận x = 2 làm nghiệm.

& BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

9. Chọn câu trả lời đúng : Tập nghiệm của phương trình 5 – x = 0 là :

A. S =                     B. S =                C. S =                 D. S = .

10. Chọn câu trả lời đúng :

Xét các khẳng định sau :

(I) x + 8 = 0 Û 8 + x = 0

(II) x(x – 9) = 0 Û x² – 81 = 0

A. Chỉ có (I) đúng                                                  B. Chỉ có (II) đúng

C. Cả (I) và (II) đều đúng                          D. Cả (I) và (II) đều sai.

& BÀI TẬP NÂNG CAO

11. Xác định giá trị của m để phương trình sau nhận x = 5 là nghiệm : 4x + m² = 22.

12. Xác định giá trị của m để phương trình sau nhận x = –3 là nghiệm : (m + 2)x + 6 = m².

13. Xác định giá trị của m để phương trình (m + 7)x = 2m – 1 vô nghiệm.

14. Giải phương trình (với m là tham số) : (m – 2)x = m – 2.

& BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN

15. Giải phương trình (với a là tham số) :(a – 3)x = a(a – 3).

(Đề thi giải Lê Quý Đôn Toán lớp 8, báo khăn Quàng Đỏ, TP. Hồ Chí Minh, năm học 2004 – 2005)

§2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG ax + b = 0

A/ KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CẦN NHỚ

I. Cách giải :   

Khi giải phương trình, chúng ta thường tìm cách biến đổi (dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân) để đưa phương trình đó về dạng biết cách giải (đơn giản nhất là dạng ax + b = 0 hay ax = –b).

II. Chú ý :

– Trong một vài trường hợp, ta còn có những cách biến đổi khác đơn giản hơn (ngoài việc bỏ dấu ngoặc và quy đồng mẫu).

– Quá trình giải có thể dẫn đến trường hợp đặc biệt là hệ số của ẩn bằng 0. Khi đó, phương trình có thể vô nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi x.

B/ BÀI TẬP

& BÀI TẬP CƠ BẢN

16. Giải các phương trình sau :

a) 5x – 8 = 4x – 5                                                   b) 4 – (x – 5) = 5(x – 3x)

c) 32 – 4(0,5y – 5) = 3y + 2                                   d) 2,5(y – 1) = 2,5y.

17. Giải các phương trình sau :

a)                                                  b) .

18. Giải phương trình sau :  = 0.

19. Giải các phương trình sau :

a)                                                  b)  + 2.

20. Giải các phương trình sau :

a) 6(x – 7) = 5(x + 2) + x                                        b) 5x – 8 = 2(x – 4) + 3x.

21. Giải phương trình sau :  = 1.

22. Tìm giá trị của m sao cho phương trình : (m – 5)x – m = 7 có nghiệm x = 3.

23. Gọi số học sinh lớp 8A của trường M là x học sinh. Viết phương trình biểu thị điều có được sau : 2 lần số học sinh lớp 8A cộng thêm 30 học sinh thì bằng 5 lần số học sinh lớp 8A bớt đi 90 học sinh.

& BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

24. Chọn câu trả lời đúng :

Tập nghiệm của phương trình 4x – 9 = x + 15 là :

A. S =                                     B. S = {–8}                 C. S = {2}                               D. S = {8}.

& BÀI TẬP NÂNG CAO

25. Giải các phương trình sau :

a)  + 3 = 0                          b)  = 5.

26. Giải các phương trình sau :

a)  =  

b)  = .

27. Giải các phương trình sau :

a)  =  

b)  + ... +  =  + ... + .

28. Giải các phương trình sau với a, b, c là tham số :

a)  = –3                                b)  = 3

c) .

& BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN

29. Giải các phương trình sau :

a)  = .

(Đề thi chọn HSG Toán lớp 8, Trường THCS Nguyễn Du, Quận 1-TP. Hồ Chí Minh, 2005 – 2006)

b)  = .

(Đề thi chọn HSG Toán lớp 8, Trường  Nguyễn Gia Thiều, Quận Tân Bình – tp.HCM, 2007 – 2008)

c)  + 2.

(Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 8, Quận 9 – TP. Hồ Chí Minh, năm học 2007 – 2008)

d)  = 10.

(Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 8, Quận 9, Tp. Hồ Chí Minh, năm học 2002 – 2003)

30. Giải các phương trình sau : (với a, b, c là các tham số)

a)  +  = 1.

(Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 8, Quận 6 – TP. Hồ Chí Minh, năm học 1990 – 1991)

b)  = .

(Đề thi chọn HSG Toán lớp 8, Trường chuyên  huyện Đức Phổ, tỉnh Quảng Ngãi, năm học 1988 – 1989)

§3. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

A/ KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CẦN NHỚ

I. Phương trình tích

Phương trình tích là phương trình có dạng A(x).B(x) ... C(x) = 0; trong đó A(x), B(x) ... là những biểu thức của biến x.

II. Cách giải phương trình tích

Muốn giải phương trình A(x).B(x) ... C(x) = 0, ta giải các phương trình A(x) = 0, B(x) = 0, ... và C(x) = 0, rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng.

B/ BÀI TẬP

& BÀI TẬP CƠ BẢN

31. Giải các phương trình sau :

a) (5x – 3)(4x + 7) = 0                                            b) x(2x + 1)(5x – 6) = 0.

32. Giải các phương trình sau :

a) 3x(x – 7) + 5(x – 7) = 0                          b) (2x – 7)² – (x + 4)² = 0.

33. Giải các phương trình sau :

a) 5x(x – 9) = 2(x – 9)                                            b) 4x – 28 = 5x(x – 7).

34. Giải các phương trình sau :

a) (x² – 6x + 9) – 25 = 0                                         b) 16x² – 8x + 1 = x².

35. Giải các phương trình sau :

a) (4x – 3)(x² – 2x + 4) = (4x – 3)(6x – 12)            b) x² – 25 + 5x(x – 5) = 7(x – 5).

36. Xác định m để phương trình sau có nghiệm bằng 5 : (m – 2)x – 3m² + 10 = 0.

& BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

37. Chọn câu trả lời đúng :

Tập nghiệm của phương trình 3x(x – 7) = 0 là :

A. S = {0}                                                              B. S = {3; 0; 7}

C. S = {3; 7}                                                          D. S = {0; 7}.

38. Chọn câu trả lời đúng :

Tính tổng các luỹ thừa bậc 4 các nghiệm của phương trình : 2(x – 1)(x + 3) = 0

A. 80                                                                      B. 82

C. 98                                                                       D. Một kết quả khác.

& BÀI TẬP NÂNG CAO

39. Giải các phương trình sau :

a) x³ + x² – 6x = 0                          b) 6x³ – 3x = –7x²                   c) 2x³ + x² – x + 3 = 0.

40. Giải các phương trình sau :

a) (x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) = 40                        b) (x – 5)(x – 6)(x + 2)(x + 3) = 180

c) (x – 7)(x – 6)(x – 5)(x – 4) = 1680.

41. Giải các phương trình sau :

a) (2x + 1)(x + 1)²(2x + 3) = 18                              b) (3x + 2)(2x + 1)(12x + 7)² = 3

c) (x + 1)(2x + 1)(4x + 3)² = 810.

42. Giải các phương trình sau :

a) (x – 3)(x – 5)(x – 6)(x – 10) = 24x²                    b) (x – 4)(x – 5)(x – 8)(x – 10) = 72x²

c) (x + 10)(x + 12)(x + 15)(x + 18) = 2x².

43. Giải các phương trình sau :

a) (x – 6)⁴ + (x – 8)⁴ = 272                         b) (x + 3)⁴ + (x + 5)⁴ = 16

c) (x – 3)⁴ + (x + 1)⁴ = 82.

44. Giải các phương trình sau :

a) x⁴ – 3x³ + 2x² – 9x + 9 = 0                                 b) 6x⁴ + 5x³ – 38x² + 5x + 6 = 0

c) x⁴ + x³ + 4x² + 5x + 25 = 0.

& BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN

45. Giải các phương trình sau :   a) x⁴ – 30x² + 31x – 30 = 0.

(Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 8, TP. Pleiku, tỉnh Gia Lai, năm học 2002 – 2003)

b)  +  + (9 – x)³ = 0.

(Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 8, Quận Tân Bình – TP. Hồ Chí Minh, năm học 2002 – 2003)

c) x³ + x² – 12x = 0.

(Đề thi chọn HSG Toán lớp 8, Trường Nguyễn Gia Thiều, Quận Tân Bình – TP. HCM,  2007 – 2008)

§4. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU

A/ KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CẦN NHỚ

I. Tìm điều kiện xác định của một phương trình

Ta tìm điều kiện cho ẩn để tất cả các mẫu trong phương trình đều khác 0 và gọi đó là điều kiện xác định (viết tắt là ĐKXĐ) của phương trình.

II. Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bước 1 : Tìm điều kiện xác định của phương trình

Bước 2 : Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu

Bước 3 : Giải phương trình vừa nhận được

Bước 4 : (Kết luận). Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.

B/ BÀI TẬP

& BÀI TẬP CƠ BẢN

46. Giải các phương trình sau :

a)  + 5 =                                                          b)  – 2x = 0.

47. Giải các phương trình sau :

a)  – 4 =                                             b)  – .

48. Giải các phương trình sau :

a)  – 2 =                                               b) .

49. Giải các phương trình sau :

a)                                   b)  – 1 = .

50. Giải các phương trình sau :

a)  + x = –6                                                         b) .

51. Với giá trị nào của a thì biểu thức sau có giá trị bằng 1 : 2a – .

& BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

52. Chọn câu trả lời đúng :

Điều kiện xác định của phương trình :  là :

A. x ¹ 3 và x ¹ 2                                                    B. x ¹ –3 và x ¹ 2

C. x ¹ –3 và x ¹ –2                                    D. x ¹ 3 và x ¹ –2.

53. Chọn câu trả lời đúng :

Tập nghiệm của phương trình  +  là :

A. S = {–2}                                                            B. S = {2}                              

C. S = {–2; –7}                                                      D. S = {–2; }.

& BÀI TẬP NÂNG CAO

54. Giải các phương trình sau :

a)                           b)  

c) .

55. Giải các phương trình sau :

a) x² – x – 18 +  = 0                                    b) x² + x – 5 –  = 0

c) x² – 4x – 4 –  = 0.

56. Giải các phương trình sau :

a)  

b)  

c)  + .

57. Giải các phương trình sau :

a)  =

b)  

c) .

58. Giải các phương trình sau :

a) x² +  = 12                                              b) x² +  = 40

c) x² +  = 40.

59. Giải phương trình sau (với m là tham số) :

& BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN

60. Giải các phương trình sau :

a)  

(Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 8, Quận 9 – TP. Hồ Chí Minh, năm học 2003 – 2004)

b)  = 2.

(Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 8, Quận Phú Nhuận – TP. Hồ Chí Minh, năm học 2001 – 2002)

c) x² +  = .

(Đề thi chọn HSG Toán lớp 8, Trường THCS Nguyễn Du, Quận 1 – TP. HCM, năm học 2003 – 2004)

d) .

(Đề thi chọn HSG Toán lớp 8, Trường Nguyễn Gia Thiều, Quận Tân Bình – TP. HCM,  2001 – 2002)